Question

6．已知直線y=kx+1與拋物線y=x²交于A，B兩點．O為坐標原點
（1）求證：OA⊥OB；
（2）若△AOB的面積為2，求k的值．

Answer 1

分析 （1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）．由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ y={x^2}\end{array}\right.⇒{x^2}-kx-1=0$
利用韋達定理可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+（k{x_1}+1）（k{x_2}+1）=-1-{k^2}+{k^2}+1=0$，即可證明
（2），O到直線AB的距離為d=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，$|AB|=\sqrt{{k^2}+1}•\frac{{\sqrt{{k^2}+4}}}{1}$
${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}\sqrt{{k^2}+4}=2$，即可求得k的值

解答 解：（1）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ y={x^2}\end{array}\right.⇒{x^2}-kx-1=0$…（2分）
△=k²+4＞0⇒k∈R，x₁+x₂=k，x₁x₂=-1…（4分）
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+（k{x_1}+1）（k{x_2}+1）=-1-{k^2}+{k^2}+1=0$，
∴OA⊥OB…（6分）
（2）O到直線AB的距離為d=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$…（7分）
$|AB|=\sqrt{{k^2}+1}•\frac{{\sqrt{{k^2}+4}}}{1}$…（9分）
${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}\sqrt{{k^2}+4}=2$…（10分）
∴${k^2}=12⇒k=±2\sqrt{3}$…（12分）

點評 本題考查了拋物線的線性，向量的數量積運算，屬于中檔題