Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax²-lnx（a∈R）．
（1）若x=1是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）=0，從而求出a的值．
（2）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)f′（x），討論a的正負(fù)，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）∵f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=2a-1=0，∴a=$\frac{1}{2}$；
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}-1}{x}$，
令g（x）=2ax²-1，x∈（0，+∞）
（i）當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）＜0，此時(shí)f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
（ii）當(dāng)a＞0時(shí)，方程2ax²-1=0有兩根x₁=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，x₂=-$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，
且x₁＞0，x₂＜0，此時(shí)當(dāng)x∈（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
故f（x）在（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）為減函數(shù)，在（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，+∞）為增函數(shù)；
所以當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為（0，+∞），
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，+∞），遞減區(qū)間為（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．