Question

已知定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：（1）對(duì)?x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（

x+y

5+3xy

）；（2）f（x）在（-1，1）上是單調(diào)減函數(shù)，且f（

1

4

）=-1．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：f（x）為奇函數(shù)；
（3）解不等式：f（2x-1）＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=0，即可求出f（0）；
（2）令y=-x，代入恒等式，結(jié)合奇偶性的定義，即可得證；
（3）由（2）的結(jié)論，求得f（-

1

4

）=-f（

1

4

）=1，再由函數(shù)的單調(diào)性得到不等式組，解出即可．

解答： （1）解：令x=y=0，則f（0）+f（0）=f（0），
即有f（0）=0；
（2）證明：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
可令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即有f（-x）=-f（x），
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（3）解：由（2）得，f（-

1

4

）=-f（

1

4

）=1，
則不等式f（2x-1）＜1即為f（2x-1）＜f（-

1

4

），
由f（x）在（-1，1）上是單調(diào)減函數(shù)，可得，

-1＜2x-1＜1 2x-1＞- 1 4

，即得

3

8

＜x＜1，
故原不等式的解集為（

3

8

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及運(yùn)用，注意定義域，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，本題屬于中檔題．