Question

5．如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，AD=4，AA₁=4，∠DAB=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，E是CC₁的中點，設$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{c}$．
（1）用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$表示$\overrightarrow{AE}$；
（2）求|$\overrightarrow{AE}$|．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_{1}}$，利用向量的多邊形法則可得$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CE}$．
（2）利用向量數(shù)量積運算性質可得：$|\overrightarrow{AE}{|}^{2}$=$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}）^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}$+$\frac{1}{4}{\overrightarrow{c}}^{2}$+$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$，代入即可得出．

解答 解：（1）如圖所示，∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$．
（2）∵$|\overrightarrow{AE}{|}^{2}$=$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}）^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}$+$\frac{1}{4}{\overrightarrow{c}}^{2}$+$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=${3}^{2}+{4}^{2}+\frac{1}{4}×{4}^{2}$+0+$3×4×\frac{1}{2}$+$4×4×\frac{1}{2}$=43．
∴$|\overrightarrow{AE}|=\sqrt{43}$．

點評 本題考查了向量的多邊形法則、向量數(shù)量積運算性質，考查了推理能力與計算能力．