Question

1．已知|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=2且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-1，若平面上點(diǎn)C滿足|2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{CB}$|=$\sqrt{2}$，則|$\overrightarrow{OC}$|的取值范圍是$[2-\sqrt{2}，2+\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件便可得出∠BAO=120°，然后可建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，并在x軸的正半軸確定點(diǎn)B，進(jìn)而確定點(diǎn)A，并可求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，可設(shè)C（x，y），從而求出向量$2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{CB}$的坐標(biāo)，這樣即可得出$（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=2$，這樣該方程便表示以（1，$\sqrt{3}$）為圓心，半徑為$\sqrt{2}$的圓，并畫(huà)出圖形，由圖形即可求出$|\overrightarrow{OC}|$的取值范圍．

解答 解：根據(jù)條件，$|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|cos∠BAO=2cos∠BAO=-1$；
∴$cos∠BAO=-\frac{1}{2}$；
∴∠BAO=120°；
建立一平面直角坐標(biāo)系，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在x軸正半軸確定點(diǎn)B，確定點(diǎn)A，如圖所示：

則$A（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，B（2，0）；
設(shè)C（x，y），∴$2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{CB}=（-1，\sqrt{3}）+（2-x，-y）$=$（1-x，\sqrt{3}-y）$；
∴$（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=2$；
∴（x，y）在以$（1，\sqrt{3}）$為圓心，半徑為$\sqrt{2}$的圓上，如圖所示：

設(shè)圓心O′，則OO′=2；
圓上的點(diǎn)到O的最小距離為$2-\sqrt{2}$，最大距離$2+\sqrt{2}$，且$|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$；
∴$|\overrightarrow{OC}|$的取值范圍為$[2-\sqrt{2}，2+\sqrt{2}]$．
故答案為：$[2-\sqrt{2}，2+\sqrt{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 考查建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)解決向量問(wèn)題的方法，向量數(shù)量積的計(jì)算公式，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可求向量坐標(biāo)，向量坐標(biāo)的加法和數(shù)乘運(yùn)算，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，數(shù)形結(jié)合解題的方法．