Question

6．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|-2m，g（x）=5-|2x+4|．
（1）解不等式g（x）≤1；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為|x+2|≥2，求出x的范圍即可；
（2）法一：根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式求出函數(shù)的最小值，從而求出m的范圍即可；法二：根據(jù)絕對(duì)值的意義求出h（x）的最小值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）∵不等式g（x）≤1，
∴5-|2x+4|≤1，∴|x+2|≥2，
解得：x≤-4或x≥0，
故不等式的解集是{x|x≤-4或x≥0}；
（2）法一：令h（x）=f（x）-g（x）=|2x-1|+|2x+4|-2m-5，
∴h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-4x-8-2m，x≤-2}\\{-2m，-2＜x＜\frac{1}{2}}\\{4x-2-2m，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴h（x）_min=-2m，
若f（x）≥g（x）恒成立，
即h（x）≥0恒成立，
∴-2m≥0，即m≤0，
故實(shí)數(shù)m的范圍是（-∞，0]．
法二：令h（x）=f（x）-g（x）=2（|x-$\frac{1}{2}$|+|x+2|）-2m-5，
根據(jù)絕對(duì)值的意義，
（|x-$\frac{1}{2}$|+|x+2|表示點(diǎn)x到點(diǎn)-2，$\frac{1}{2}$的距離，
∴（|x-$\frac{1}{2}$|+|x+2|）_min=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴h（x）_min=-2m，
若f（x）≥g（x）恒成立，
即h（x）≥0恒成立，
∴-2m≥0，即m≤0，
故實(shí)數(shù)m的范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查分類討論思想以及函數(shù)的最值問題，是一道中檔題．