Question

14．已知圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）若P是圓C與y軸正半軸的交點，以圓心C為極點，以x軸的正方向為極軸的方向建立極坐標(biāo)系，求過點P的圓C的切線的極坐標(biāo)方程．
（2）直線l經(jīng)過原點O，傾斜角$α=\frac{π}{6}$，設(shè)l與圓C相交于A，B兩點，求點O到A，B兩點的距離之積．

Answer 1

分析 （1）先求出曲線C的普通方程，求出P的直角坐標(biāo)，求出過P的切線方程即可．
（2 設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)為t₁和t₂，以直線l的參數(shù)方程代入圓的方程整理得到t²+3t-1=0，由|OA|•|OB|=|t₁t₂|求出點O到A、B兩點的距離之積．

解答 解：（1）∵C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）即$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$．
兩式平方后相加得（x-$\sqrt{3}$）²+y²=4，
∴曲線C是以（$\sqrt{3}$，0）為圓心，半徑等于2的圓，
令x=0，解得：P（0，1），
∴∠PCO=$\frac{π}{6}$，
設(shè)M（ρ，θ）是過P點的圓C的切線上的任一點，則在Rt△PMC中，
有ρcos（θ-$\frac{5π}{6}$）=2，即為所求切線的極坐標(biāo)方程．
（2）直線的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$ （t是參數(shù)）．
因為點A，B都在直線l上，所以可設(shè)它們對應(yīng)的參數(shù)為t₁和t₂，
圓化為直角坐標(biāo)系的方程（x-$\sqrt{3}$）²+y²=4，
以直線l的參數(shù)方程代入圓的方程整理得到 t²+3t-1=0  ①，
因為₁和t₂是方程①的解，從而 t₁t₁=-2．
所以|OA||OB|=t₁t₂|=|-1|=1．

點評 本題主要考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程及直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，本題考查直線的參數(shù)方程以及參數(shù)的幾何意義，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．