Question

4．如圖，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（a＞b），在AB，AD，CB，CD上，分別截取AE=AH=CF=CG=x（x＞0），設(shè)四邊形EFGH的面積為y．
（1）寫出四邊形EFGH的面積y與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）求當(dāng)x為何值時(shí)y取得最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）利用三角形全等和矩形ABCD面積減去4個(gè)三角形面積，EFGH的面積即可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系．
（2）利用配方，討論二次函數(shù)最大值即可．

解答 解：AB=a，BC=b（a＞b），AE=AH=CF=CG=x（x＞0），四邊形EFGH的面積為y．
（1）∵△AEH≌△CFG，△EBF≌△GDH，
∴y=S_矩形ABCD-2S_△AEH-2S_△EFB=ab-2×$\frac{1}{2}$x²-2×$\frac{1}{2}$（a-x）（b-x）．
=-2x²+（a+b）x（0＜x≤b）．
（2）y=-2（x-$\frac{a+b}{4}$）²+$\frac{1}{8}$（a+b）²．
①如圖1，當(dāng)b≥$\frac{a+b}{4}$，即a＞b≥$\frac{a}{3}$時(shí)，
當(dāng)x=$\frac{a+b}{4}$時(shí)，y_max=$\frac{1}{8}$（a+b）²；
②如圖2，當(dāng)0＜b＜$\frac{a+b}{4}$，即0＜b＜$\frac{a}{3}$時(shí)，
y在區(qū)間（0，b]上是增函數(shù)，
當(dāng)x=b時(shí)，y_max=（a-b）b．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)最值的討論和運(yùn)用，屬于中檔題．