Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²+$\frac{a}{x}$（x≠0，a∈R）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）當a=1時，若存在x₁∈[1，+∞）和任意的x₂∈[1，+∞）使得f（x₁）＜log₂（x₂+m）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論，根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)g（x）=log₂（x+m），由題意f（x）_min＜g（x）_min，分別根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出兩個函數(shù)的最小值，問題得以解決．

解答 解：（1）∵f（x）=x²+$\frac{a}{x}$，
∴f（-x）=x²-$\frac{a}{x}$，
當a=0時，f（-x）=x²=f（x）為偶函數(shù)，
當a≠0時，f（x）為非奇非偶函數(shù)，
（2）當a=1時，f（x）=x²+$\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞）
∴f′（x）=2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0在[1，+∞）恒成立，
∴f（x）_min=f（1）=1，
設(shè)g（x）=log₂（x+m），
∵g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（1）=log₂（1+m），
∵存在x₁∈[1，+∞）和任意的x₂∈[1，+∞）使得f（x₁）＜log₂（x₂+m）成立，
∴f（x）_min＜g（x）_min，
∴1＜log₂（1+m），
解得m＞1，
故實數(shù)m的取值范圍為（1，+∞）

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性和參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)最值，屬于中檔題．