Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2，求f（x）在[-5，5]上的最大值f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{27+10a，a＞0}\\{27-10a，a≤0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由于二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-a，分①當(dāng)-a＜-5、②當(dāng)-5≤-a＜0、③當(dāng)0≤-a≤5、④當(dāng)-a＞5四種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最值

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a² 的對(duì)稱軸為x=-a，
①當(dāng)-a＜-5，即a＞5時(shí)，函數(shù)y在[-5，5]上是增函數(shù)，
當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)y取得最大值為27+10a．
②當(dāng)-5≤-a＜0，即0＜a≤5時(shí)，當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)y取得最大值為27+10a．
③當(dāng)0≤-a≤5，即-5≤a≤0時(shí)，x=-a時(shí)，當(dāng)x=-5時(shí)，函數(shù)y取得最大值為27-10a．
④當(dāng)-a＞5，即a＜-5時(shí)，函數(shù)y在[-5，5]上是減函數(shù)，故當(dāng)x=-5時(shí)，函數(shù)y取得最大值為27-10a；
∴f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{27+10a，a＞0}\\{27-10a，a≤0}\end{array}\right.$，
故答案為：f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{27+10a，a＞0}\\{27-10a，a≤0}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．