Question

12．四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=$\sqrt{2}$，BD⊥CD．將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列
結(jié)論中正確的序號是②③
①A′C⊥BD          
②CA′與平面A′BD所成的角為45°
③BA′⊥面A′CD
④四面體A′-BCD的體積為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由已知中四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=$\sqrt{2}$，BD⊥CD，將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A'-BCD，使平面A'BD⊥平面BCD，我們根據(jù)線線垂直的判定方法，可證明①的正誤，求出CA′與平面A′BD所成的角，對于選項(xiàng)②做出判斷；利用線面垂直的性質(zhì)，可以判斷③的對錯，求出四面體A'-BCD的體積即可判斷④的真假．

解答 解：∵四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=$\sqrt{2}$，BD⊥CD，平面A'BD⊥平面BCD，
則由A′D與BD不垂直，BD⊥CD，故BD與平面A′CD不垂直，則BD僅于平面A′CD與CD平行的直線垂直，故①錯誤；
由BD⊥CD，平面A′BD⊥平面BCD，易得CD⊥平面A′BD，
∴CD⊥A′B，CD⊥A′D，
∵A′D=CD，
∴△A′CD為等腰直角三角形，
∴∠A′DC=45°，
則CA′與平面A′BD所成的角為45°，選項(xiàng)②正確；
又由AB=AD，BD=$\sqrt{2}$，
可得A′B⊥A′D，
∴A′B⊥面A′CD，故③正確；
由CD⊥平面A′BD得CD⊥A′D，即△A'DC是直角三角形，故C答案△A'DC是正三角形錯誤；
∵四面體A'-BCD的體積V=$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，∴四面體A'-BCD的體積為$\frac{1}{3}$錯誤，選項(xiàng)④錯誤．
故答案為：②③

點(diǎn)評 此題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，以及棱柱的結(jié)構(gòu)特征，熟練掌握空間位置關(guān)系與距離的判定是解本題的關(guān)鍵．