Question

10．某商場(chǎng)組織購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，現(xiàn)場(chǎng)準(zhǔn)備了兩個(gè)裝有6個(gè)球的箱子，小球除顏色外完全相同，A箱中放有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、1個(gè)黃球，B箱中放有紅球、白球和黃球各2個(gè)，顧客購(gòu)物一次可分別從A、B兩箱中任取（有放回）一球，當(dāng)兩球同色即中獎(jiǎng)，若取出兩個(gè)黃球得3分，取出兩個(gè)白球得2分，取出兩個(gè)紅球得1分，當(dāng)兩球異色時(shí)未中獎(jiǎng)得0分，商場(chǎng)根據(jù)顧客所得分?jǐn)?shù)多少給予不同獎(jiǎng)勵(lì)．
（Ⅰ）求某顧客購(gòu)物一次中獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）某顧客先后2次參與購(gòu)物抽獎(jiǎng)，其得分之和為ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩球同色即中獎(jiǎng)，即可求某顧客購(gòu)物一次中獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）某顧客先后2次參與購(gòu)物抽獎(jiǎng)，其得分之和為ξ，確定其取值，求出相應(yīng)的概率，即可求ξ的分布列及期望Eξ．

解答 解：（Ⅰ）由題意，P（A取紅球）=$\frac{1}{2}$，P（A取白球）=$\frac{1}{3}$，P（A取黃球）=$\frac{1}{6}$，P（B取紅球）=$\frac{1}{3}$，P（B取白球）=$\frac{1}{3}$，P（B取黃球）=$\frac{1}{3}$，
∴顧客購(gòu)物一次中獎(jiǎng)的概率為$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$；
（Ⅱ）ξ的取值為0，1，2，3，4，5，6，則
令η表示顧客1次參與購(gòu)物抽獎(jiǎng)的得分，則P（η=0）=$\frac{2}{3}$，P（η=1）=$\frac{1}{6}$，P（η=2）=$\frac{1}{9}$，P（η=3）=$\frac{1}{18}$．
P（ξ=0）=$（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{9}$，P（ξ=1）=2×$\frac{2}{3}×\frac{1}{6}$=$\frac{2}{9}$，P（ξ=2）=2×$\frac{2}{3}×\frac{1}{9}$+$（\frac{1}{6}）^{2}$=$\frac{19}{108}$，
P（ξ=3）=2×$\frac{1}{6}×\frac{1}{9}$+2×$\frac{2}{3}×\frac{1}{18}$=$\frac{1}{9}$，P（ξ=4）=2×$\frac{1}{6}×\frac{1}{18}$+$（\frac{1}{9}）^{2}$=$\frac{5}{162}$，
P（ξ=5）=$2×\frac{1}{9}×\frac{1}{18}$=$\frac{1}{81}$，P（ξ=6）=$（\frac{1}{18}）^{2}$=$\frac{1}{324}$．
ξ的分布列如下表：

ξ	0	1	2	3	4	5	6
P	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{19}{108}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{5}{162}$	$\frac{1}{81}$	$\frac{1}{324}$

Eξ=0×$\frac{4}{9}$+1×$\frac{2}{9}$+2×$\frac{19}{108}$+3×$\frac{1}{9}$+4×$\frac{5}{162}$+5×$\frac{1}{81}$+6×$\frac{1}{324}$=$\frac{10}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，歷年高考中都是必考題型．