Question

6．已知M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}，∠BAC={30°}$，若△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為$\frac{1}{2}，x，y$，則xy的最大值是（　�。�

• A． $\frac{1}{14}$
• B． $\frac{1}{16}$
• C． $\frac{1}{18}$
• D． $\frac{1}{20}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件可得到$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=4$，從而可求出三角形ABC的面積為$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|sin30°=1$，從而可得到$x+y=\frac{1}{2}$，根據(jù)基本不等式即可求出xy的最大值．

解答 解：$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos30°=2\sqrt{3}$；
∴$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=4$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|sin30°=1=\frac{1}{2}+x+y$；
∴$x+y=\frac{1}{2}$；
x＞0，y＞0，∴$\frac{1}{2}=x+y≥2\sqrt{xy}$；
∴$xy≤\frac{1}{16}$，當(dāng)$x=y=\frac{1}{4}$時(shí)取“=”．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查數(shù)量積的計(jì)算公式，三角形的面積公式，以及基本不等式求最值．