Question

1．如圖，過(guò)原點(diǎn)斜率為k的直線與曲線y=lnx交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①k的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．
②$\frac{1}{x_1}$＜k＜$\frac{1}{x_2}$．
③當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，f（x）=kx-lnx先減后增且恒為負(fù)．
以上結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（　�。�

• A． ①
• B． ①②
• C． ①③
• D． ②③

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=kx-lnx，求導(dǎo)可得f′（x）=k-$\frac{1}{x}$，由已知f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，得k＞0，進(jìn)一步可得f（x）在（0，$\frac{1}{k}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{k}，+∞$）上單調(diào)遞增，畫圖可得f（$\frac{1}{k}$）=1-$ln\frac{1}{k}$＜0，則0$＜k＜\frac{1}{e}$，故①正確；由${x}_{1}＜\frac{1}{k}＜{x}_{2}$，得$\frac{1}{{x}_{2}}＜k＜\frac{1}{{x}_{1}}$，故②錯(cuò)誤；由圖可知，當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，f（x）=kx-lnx先減后增且恒為負(fù)，故③正確．

解答 解：令f（x）=kx-lnx，則f′（x）=k-$\frac{1}{x}$，
由已知f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則k＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{k}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{k}，+∞$）上單調(diào)遞增，
∴f（$\frac{1}{k}$）=1-$ln\frac{1}{k}$＜0，則0$＜k＜\frac{1}{e}$，故①正確；
且有${x}_{1}＜\frac{1}{k}＜{x}_{2}$，∴$\frac{1}{{x}_{2}}＜k＜\frac{1}{{x}_{1}}$，故②錯(cuò)誤；
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，f（x）=kx-lnx先減后增且恒為負(fù)，故③正確．
∴所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．