Question

2．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若△ABC的周長為5+$\sqrt{7}$，面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理，三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用化簡已知可得2cosCsinC=sinC，結合C的范圍可得sinC≠0，可求cosC=$\frac{1}{2}$，即可得解C的值．
（Ⅱ）由三角形面積公式可求ab，利用余弦定理可得（a+b）²-18=c²，結合a+b+c=5+$\sqrt{7}$，即可解得c的值．

解答 解：（Ⅰ）∵2cosC（acosB+bcosA）=c，
∴2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
∴2cosCsin（A+B）=sinC，可得：2cosCsinC=sinC，
∵0＜C＜π，sinC≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，可得：C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由題意可得：S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴解得：ab=6，
又∵a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$=c²，可得：（a+b）²-3ab=c²，可得：（a+b）²-18=c²，
又a+b+c=5+$\sqrt{7}$，
∴（5+$\sqrt{7}$-c）²-18=c²，
∴解得：c=$\sqrt{7}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．