Question

已知函數(shù)f（x）=e^ax-x-1，其中a≠0．若對(duì)一切x∈R，f（x）≥0恒成立，則a的取值集合

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：轉(zhuǎn)化思想,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：首先對(duì)a考慮，說明a＜0不成立，只有a＞0，求出導(dǎo)數(shù)，并求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求得最小值，令它不小于0，然后構(gòu)造函數(shù)g（t）=t-tlnt-1，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出它的最大值，運(yùn)用兩邊夾法則即可求出a的值．

解答： 解：若a＜0，則對(duì)一切x＞0，∵e^ax＜1，∴f（x）=e^ax-x-1＜0，這與題設(shè)矛盾．
又a≠0，故a＞0．
而f′（x）=ae^ax-1，令f′（x）=0得x=

1

a

ln

1

a

，
當(dāng)x＜

1

a

ln

1

a

時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞

1

a

ln

1

a

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=

1

a

ln

1

a

，f（x）取最小值f（

1

a

ln

1

a

）=

1

a

-

1

a

ln

1

a

-1．
于是對(duì)一切x∈R，f（x）≥0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)

1

a

-

1

a

ln

1

a

-1≥0．①
令g（t）=t-tlnt-1，（t=

1

a

）則g′（t）=-lnt，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g′（t）＞0，g（t）單調(diào)遞增；
當(dāng)t＞1時(shí)，g′（t）＜0，g（t）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=1時(shí)，g（t）取最大值g（1）=1-1=0．
∴當(dāng)且僅當(dāng)

1

a

=1，即a=1時(shí)，①式等號(hào)成立．
綜上所述，a的取值集合為{1}．
故答案為：{1}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運(yùn)用，同時(shí)考查構(gòu)造函數(shù)解題的思想，屬于中檔題．