Question

6．已知圓O₁：x²+y²-8$\sqrt{2}$x-8$\sqrt{2}$y+48=0，圓O₂過點A（0，-4）．
（1）若圓O₂與圓O₁相切于點B（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），求圓O₂的方程；
（2）若圓O₃過點C（4，0），兩圓O₁，O₂相交于M，N，且兩圓在點M處的切線互相垂直，求直線MN的方程．

Answer 1

分析 （1）圓O₂的圓心在直線y=x上，不妨設(shè)為（a，a），圓O₂過B（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），建立方程，求出a，即可求圓O₂的方程；
（2）圓O₂的圓心在直線y=-x上，不妨設(shè)為（a，-a），兩圓在點M處的切線互相垂直，求出圓O₂的方程，即可求直線MN的方程．

解答 解：（1）∵圓O₂與圓O₁相切于點B（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），O₁（4$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$），
∴圓O₂的圓心在直線y=x上，不妨設(shè)為（a，a），
∵圓O₂過B（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），
∴a²+（a+4）²=2（a-2$\sqrt{2}$）²，
∴a=0，
∴圓O₂的方程為x²+y²=16；
（2）∵圓O₂過點A（0，-4），（4，0）．
∴圓O₂的圓心在直線y=-x上，不妨設(shè)為（a，-a），
∵兩圓在點M處的切線互相垂直，
∴（a-4$\sqrt{2}$）²+（a+4$\sqrt{2}$）²=4²+a²+（a+4）²，
∴a=4，
∴圓O₂的方程為（x-4）²+（y+4）²=16，
∴MN的方程為x+（3+2$\sqrt{2}$）y-4（$\sqrt{2}$+1）=0．

點評 本題考查圓的方程，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．