Question

18．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|，x∈R，
（1）解不等式f（x）＜x+1；
（2）若對于x，y∈R，有|x-y-1|≤$\frac{1}{3}$，|2y+1|≤$\frac{1}{6}$，求證：f（x）＜1．

Answer 1

分析 （1）由條件把要解的解絕對值不等式等價轉(zhuǎn)化為-x-1＜2x-1＜x+1，從而求得x的范圍．
（2）由條件利用絕對值三角不等式證得不等式成立．

解答 解：（1）不等式f（x）＜x+1，等價于|2x-1|＜x+1，即-x-1＜2x-1＜x+1，
求得0＜x＜2，故不等式f（x）＜x+1的解集為（0，2）．
（2）∵$|{x-y-1}|≤\frac{1}{3}，|{2y+1}|≤\frac{1}{6}$，
∴f（x）=|2x-1|=|2（x-y-1）+（2y+1）|≤|2（x-y-1）|+|（2y+1）|≤2•$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$＜1．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．