Question

5．已知變量x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{x+y≤m}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，若z=y-x的最小值為-3，則z=y-x的最大值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，先求出m的值，然后通過平移即可求z的最大值．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=y-x得y=x+z，
平移直線y=x+z，
由圖象可知當(dāng)直線y=x+z經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線y=x+z的截距最小，
此時(shí)z最小，為-3，即z=y-x=-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y-x=-3}\\{y=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即C（2，-1），
C也在直線x+y=m上，∴m=2-1=1，
即直線方程為x+y=1，
當(dāng)直線y=x+z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線y=x+z的截距最大，
此時(shí)z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{y=2x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），
此時(shí)z=y-x=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$，
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖象平行求得目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．