Question

19．如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，AH⊥CD于H，BD交AH于P，且PC⊥BC
（Ⅰ）求證：A，B，C，P四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）若∠CAD=$\frac{π}{3}$，AB=1，求四邊形ABCP的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知AC=AD，AH⊥CD可得△ACP≌△ADP，得∠ACP=∠ADP．再由AB=AD，得∠ADP=∠ABP，進(jìn)一步得到∠ABP=∠ACP，可知A，B，C，P四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）由AC=AD，$∠CAD=\frac{π}{3}$，得△ACD是邊長為1的等邊三角形，結(jié)合AH⊥CD，得$∠CAH=\frac{π}{6}$．再結(jié)合A，B，C，P四點(diǎn)共圓，$∠BCP=\frac{π}{2}$，得$∠BAP=\frac{π}{2}$，即△ABC也是邊長為1的等邊三角形，進(jìn)一步得到P為△ACD的中心．可得S_ABCP=S_△ABC+S_△ACP=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1+（\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}）×\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$．

解答 證明：（Ⅰ）∵AC=AD，AH⊥CD，∴∠CAD=∠DAP，
從而△ACP≌△ADP，得∠ACP=∠ADP．
又AB=AD，故∠ADP=∠ABP，
從而∠ABP=∠ACP，可知A，B，C，P四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）由AC=AD，$∠CAD=\frac{π}{3}$，從而△ACD是邊長為1的等邊三角形，
又AH⊥CD，故$∠CAH=\frac{π}{6}$．
由（Ⅰ）知A，B，C，P四點(diǎn)共圓，又$∠BCP=\frac{π}{2}$，故$∠BAP=\frac{π}{2}$，
從而$∠BAC=∠BAP-∠CAH=\frac{π}{2}-\frac{π}{6}=\frac{π}{3}$，故△ABC也是邊長為1的等邊三角形，
由PC⊥BC，$∠ACB=\frac{π}{3}$，得$∠ACP=∠BCP-∠ACB=\frac{π}{2}-\frac{π}{3}=\frac{π}{6}$，
知CP，AH為等邊三角形的角平分線，從而P為△ACD的中心．
故此時(shí)S_ABCP=S_△ABC+S_△ACP=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1+（\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}）×\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了四點(diǎn)共圓的條件，是中檔題．