Question

4．已知函敷f（x）=|x+2|-|x-1|，
（Ⅰ）若關于x的不等式f（x）≤m恒成立，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）求不等式f（x）≥|x-1|-2的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對值三角不等式，求出f（x）的最小值，即可求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）分類討論，去掉絕對值求不等式f（x）≥|x-1|-2的解集．

解答 解：（Ⅰ）由題意，f（x）=|x+2|-|x-1|≤|x+2-x+1=3，
∵關于x的不等式f（x）≤m恒成立，
∴m≥3；
（Ⅱ）不等式f（x）≥|x-1|-2可化為|x+2|-2|x-1|≥-2．
x≤-2時，-x-2+2x-2≥-2，解得x≥2，∴x∈∅；
-2＜x＜1時，x+2+2x-2≥-2，解得x≥-$\frac{2}{3}$，∴-$\frac{2}{3}$＜x＜1；
x≥1時，x+2-2x+2≥-2，解得x≤6，∴1≤x≤6；
綜上所述，不等式f（x）≥|x-1|-2的解集為{x|-$\frac{2}{3}$＜x≤6}．

點評 本題考查了含有絕對值的不等式的解法與應用問題，解題的關鍵是去掉絕對值，是綜合性題目．