Question

7．如果f（x）對?x∈R，f（1+x）=f（-x），且x≥$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=log₂（3x-1），求f（x）．

Answer 1

分析 由題意可知，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$對稱，分別設(shè)出y=log₂（3x-1）（x$≥\frac{1}{2}$）上的任意一點(diǎn)為P₁（x₁，y₁）及點(diǎn)P₁關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$的對稱點(diǎn)為P（x，y），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1-x}\\{{y}_{1}=y}\end{array}\right.$，再由P₁（x₁，y₁）在曲線y=log₂（3x-1）上求得f（x）．

解答 解：由f（1+x）=f（-x），可知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$對稱，
設(shè)y=log₂（3x-1）（x$≥\frac{1}{2}$）上的任意一點(diǎn)為P₁（x₁，y₁），點(diǎn)P₁關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$的對稱點(diǎn)為P（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{x+{x}_{1}=1}\\{y={y}_{1}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1-x}\\{{y}_{1}=y}\end{array}\right.$，
∵P₁（x₁，y₁）在曲線y=log₂（3x-1）（x$≥\frac{1}{2}$）上，
∴y₁=log₂（3x₁-1），即y=log₂（3-3x-1）=log₂（2-3x）．
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（3x-1），x≥\frac{1}{2}}\\{lo{g}_{2}（2-3x），x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查曲線關(guān)于直線的對稱曲線方程的求法，屬中檔題．