Question

7．（Ⅰ）運(yùn)用S_（α+β）及C_（α+β）證明：tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$；
（Ⅱ）在△ABC中，證明tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的三角公式化簡tan（α+β），即可證得結(jié)論．
（Ⅱ）△ABC中，由tanA=-tan（B+C） 利用兩角和差的正切公式，求得tanB+tanC=-tanA+tanAtanBtanC，代入要證等式的左邊，即可證得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：∵tan（α+β）=$\frac{sin（α+β）}{cos（α+β）}$=$\frac{sinαcosβ+cosαsinβ}{cosαcosβ-sinαsinβ}$=$\frac{\frac{sinαcosβ}{cosαcosβ}+\frac{cosαsinβ}{cosαcosβ}}{1-\frac{sinαsinβ}{cosαcosβ}}$=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$．
（Ⅱ）證明：△ABC中，tanA=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$，
∴tanB+tanC=-tanA+tanAtanBtanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanA-tanA+tanAtanBtanC=tanAtanBtanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立．

點(diǎn)評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的三角公式，屬于基礎(chǔ)題．