Question

9．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點為點A，直線l：y=x+a與其兩條漸近線分別交于點B、C，且$\overrightarrow{OC}$+2$\overrightarrow{OA}$=3$\overrightarrow{OB}$，O為坐標原點，則雙曲線的離心率是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 求得A（-a，0），雙曲線的漸近線方程，由$\overrightarrow{OC}$+2$\overrightarrow{OA}$=3$\overrightarrow{OB}$，可得y_C＞y_B，聯(lián)立直線y=x+a和漸近線方程，解得B，C的坐標，運用向量的坐標運算，可得b=2a，由a，b，c的關系和離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得A（-a，0），
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由$\overrightarrow{OC}$+2$\overrightarrow{OA}$=3$\overrightarrow{OB}$，可得y_C＞y_B，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+a}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$解得C（$\frac{{a}^{2}}{b-a}$，$\frac{ab}{b-a}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+a}\\{y=-\frac{a}x}\end{array}\right.$解得B（-$\frac{{a}^{2}}{a+b}$，$\frac{ab}{a+b}$），
由$\overrightarrow{OC}$+2$\overrightarrow{OA}$=3$\overrightarrow{OB}$，可得
$\frac{ab}{b-a}$=3•$\frac{ab}{a+b}$，
即有3（b-a）=b+a，即b=2a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
即為e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用聯(lián)立漸近線方程求交點，考查向量的加法的坐標表示，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．