Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{15}}{4}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上任意一點，且PF₁F₂的周長是8+2$\sqrt{15}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在斜率為1的直線L與橢圓C交于A，B兩點，使得以AB為直徑圓過原點，若存在寫出直線方程；
（3）設(shè)圓T：（x-t）²+y²=$\frac{4}{9}$，過橢圓的上頂點作圓T的兩條切線交橢圓于E、F兩點，當(dāng)圓心在x軸上移動且t∈（1，3）時，求EF的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓離心率得到a，c的關(guān)系，再由△PF₁F₂的周長，得a，c的另一關(guān)系，聯(lián)立求得a，c的值，代入隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出直線方程和A，B坐標(biāo)，表示出圓的方程，求出b的值，從而判斷結(jié)論；
（3）橢圓的上頂點為M（0，1），設(shè)過點M與圓T相切的直線方程為y=kx+1，由圓心到切線距離等于半徑得到關(guān)于切線斜率的方程，由根與系數(shù)關(guān)系得到k₁+k₂，k₁k₂，再聯(lián)立一切線方程和橢圓方程，求得E的坐標(biāo)，同理求得F坐標(biāo)，另一兩點求斜率公式得到k_EF，然后由函數(shù)單調(diào)性求得EF的斜率的范圍．

解答 解：（1）由e=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，可知a=4b，c=$\sqrt{15}$b，
∵△PF₁F₂的周長是8+2$\sqrt{15}$，
∴2a+2c=8+2$\sqrt{15}$，
∴a=4，b=1，
所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+y²=1；
（2）設(shè)直線方程是：y=x+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{\frac{{x}^{2}}{16}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得：17x²+32x+16（b²-1）=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{32}{17}$，x₁x₂=$\frac{16{（b}^{2}-1）}{17}$，
y₁+y₂=$\frac{2b}{17}$，y₁y₂=$\frac{^{2}-16}{17}$，
∴AB的中點即圓心的坐標(biāo)是（-$\frac{16b}{17}$，$\frac{17}$），
|AB|=$\frac{2\sqrt{^{2}+34×16}}{17}$，
∴滿足條件的圓的方程是：${（x+\frac{16}{17}b）}^{2}$+${（y-\frac{17}）}^{2}$=$\frac{^{2}+34×16}{{17}^{2}}$，
將（0，0）代入解得：b=±$\sqrt{34}$，
故存在直線y=x±$\sqrt{34}$滿足題意；
（3）橢圓的上頂點為M（0，1），設(shè)過點M與圓T相切的直線方程為y=kx+1，
由直線y=kx+1與T相切可知 $\frac{|kt+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2}{3}$，
即（9t²-4）k²+18tk+5=0，
∴k₁+k₂=-$\frac{18t}{{9t}^{2}-4}$，k₁k₂=$\frac{5}{{9t}^{2}-4}$，
由 $\left\{\begin{array}{l}{y{=k}_{1}x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{16}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+16k₁²）x²+32k₁x=0．
∴x_E=-$\frac{3{2k}_{1}}{1+1{{6k}_{1}}^{2}}$，同理x_F=-$\frac{3{2k}_{2}}{1+1{{6k}_{2}}^{2}}$，
則k_EF=$\frac{{{y}_{F}-y}_{E}}{{{x}_{E}-x}_{F}}$=$\frac{{{k}_{1}x}_{E}{{-k}_{2}x}_{F}}{{{x}_{E}-x}_{F}}$=$\frac{{{k}_{1}+k}_{2}}{1-1{{6k}_{1}k}_{2}}$=$\frac{6t}{28-{3t}^{2}}$，
當(dāng)1＜t＜3時，f（t）=$\frac{6t}{28-{3t}^{2}}$為增函數(shù)，
故EF的斜率的范圍為（$\frac{6}{25}$，18）．

點評 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了直線與圓相切的條件，訓(xùn)練了利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，是綜合題．