Question

14．是否存在實(shí)數(shù)λ，使函數(shù)f（x）=x⁴+（2-λ）x²+2-λ在區(qū)間（-∞，-2]上是減函數(shù)？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，f′（x）=2x[2x²+（2-λ）]，通過(guò)討論λ≤2時(shí)，λ＞2，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出λ的范圍即可．

解答 解：f′（x）=4x³+2（2-λ）x；
若λ≤2，令f′（x）=0得，x=0，
f（x）在（-∞，0）遞減，
顯然符合在區(qū)間（-∞，-2]上是減函數(shù)；
λ＞2時(shí)：令f′（x）=0得，x=0，或±$\sqrt{\frac{λ}{2}-1}$；
∴f（x）在（-∞，-$\sqrt{\frac{λ}{2}-1}$]上是減函數(shù)，
∵已知f（x）在（-∞，-2]上是減函數(shù)，
∴-2≤-$\sqrt{\frac{λ}{2}-1}$；
解得：2＜λ≤10；
即存在實(shí)數(shù)λ，使f（x）在（-∞，-2]上是減函數(shù)，且λ的范圍為：（-∞，10]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)單調(diào)區(qū)間法方法，是一道中檔題．