Question

11．已知a，b為實數(shù)，f（x）=a•$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x²+2bx，若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠∅，則a+b的取值范圍為[0，8）．

Answer 1

分析 由已知中{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠∅，可得a=0，進(jìn)而f（x）=x²+2bx，f（x）=-2b無解，或f（x）=-2b的解為0或-2b，求出b的范圍后，可得答案．

解答 解：令t=f（x），
由{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}可得：t=0時，f（t）=f（0）=a=0，
故f（x）=x²+2bx，
則{x|f（x）=0}={0，-2b}，
當(dāng)f（f（x））=0時，f（x）=0或f（x）=-2b，
由{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，
可得f（x）=-2b無解，或f（x）=-2b的解為0或-2b，
當(dāng)x²+bx=-2b無解時，△=b²-8b＜0，解得：0＜b＜8，
若f（x）=-2b的解為0或-2b，則b=0，
故0≤b＜8，
故a+b的取值范圍是[0，8），
故答案為：[0，8）．

點評 本題考查的知識點是集合的相等，解答的關(guān)鍵是由已知分析出a=0，進(jìn)而得到f（x）=x²+2bx，f（x）=-2b無解，或f（x）=-2b的解為0或-2b，是一道中檔題．