Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3tx+18，x≤3}\\{（t-13）\sqrt{x-3}，x＞3}\end{array}\right.$，記a_n=f（n）（n∈N^*），若數(shù)列{a_n}滿足a_n＞a_n+1，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（$\frac{5}{3}$，4）．

Answer 1

分析 要使函數(shù)f（x）=x²-3tx+18在x≤3（x∈N^*）時(shí)單調(diào)遞減，則$\frac{3}{2}$t＞$\frac{5}{2}$；要使函數(shù)f（x）=（t-13）$\sqrt{x-3}$在x＞3單調(diào)遞減，則必須滿足t-13＜0；又函數(shù)f（x）在x∈N^*時(shí)單調(diào)遞減，則f（3）＞f（4）．聯(lián)立解不等式即可t的范圍．

解答 解：要使函數(shù)f（x）=x²-3tx+18在x≤3（x∈N^*）時(shí)單調(diào)遞減，
由a1＞a2＞a3，可得1-3t+18＞4-6t+18＞9-9t+18，
解得t＞$\frac{5}{3}$；
要使函數(shù)f（x）=（t-13）$\sqrt{x-3}$在x＞3單調(diào)遞減，
則必須滿足t-13＜0，解得t＜13．
又函數(shù)f（x）在x∈N^*時(shí)單調(diào)遞減，
則f（3）=27-9t＞f（4）=（t-13）•$\sqrt{4-3}$，
解得t＜4．
故t的取值范圍是（$\frac{5}{3}$，4）．
故答案為：（$\frac{5}{3}$，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性研究數(shù)列的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性、一次函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．