Question

8．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB|}}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC|}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BD=4，CD=6．
（1）求∠BAC的大�。�
（2）求邊AC、AB的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量夾角的余弦公式即可得到cos$∠BAC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，從而便得出$∠BAC=\frac{π}{4}$；
（2）可設(shè)AD=x，從而可表示出$AB=\sqrt{{x}^{2}+16}，AC=\sqrt{{x}^{2}+36}$，而又知道cos$∠BAC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，BC=10，從而可根據(jù)余弦定理建立關(guān)于x的方程，解方程便可得出x值，從而便可得出AC，AB的長．

解答 解：（1）$cos∠BAC=\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$∠BAC=\frac{π}{4}$；
（2）設(shè)AD=x，則$AB=\sqrt{16+{x}^{2}}，AC=\sqrt{36+{x}^{2}}$，cos$∠BAC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，BC=10；
∴在△ABC中，由余弦定理得：AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC=BC²；
即$16+{x}^{2}+36+{x}^{2}-\sqrt{2}•\sqrt{16+{x}^{2}}•\sqrt{36+{x}^{2}}=100$；
整理得：$2（{x}^{2}-24）=\sqrt{2}•\sqrt{16+{x}^{2}}•\sqrt{36+{x}^{2}}$，兩邊平方并整理得：
x⁴-148x²+4•144=0；
解得x²=144，或x²=4；
∵x²＞24；
∴x²=144；
∴$AB=\sqrt{16+144}=40$，；
∴$AB=\sqrt{16+144}=4\sqrt{10}，AC=\sqrt{36+144}=6\sqrt{5}$；
即邊AC，AB的長分別為$6\sqrt{5}，4\sqrt{10}$．

點評 考查向量夾角的余弦公式，已知三角函數(shù)值求角，以及直角三角形邊的關(guān)系，余弦定理，解一元二次方程．