Question

5．設(shè)A，B是橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且AO⊥BO，作OP⊥AB，垂足為P，則|OP|=（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1即為ρ²=$\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$=$\frac{2}{1+si{n}^{2}θ}$，由題意可設(shè)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），代入極坐標(biāo)方程，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合三角形的面積公式，即可得到所求值．

解答 解：由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得
橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1即為ρ²=$\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$=$\frac{2}{1+si{n}^{2}θ}$，
由題意可設(shè)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），
即有|OA|²=ρ₁²=$\frac{2}{1+si{n}^{2}θ}$，
|OB|²=ρ₂²=$\frac{2}{1+si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}$=$\frac{2}{1+co{s}^{2}θ}$，
|AB|²=|OA|²+|OB|²，
由三角形的面積公式可得
|OP|²•|AB|²=|OA|²•|OB|²，
即有|OP|²=$\frac{|OA{|}^{2}•|OB{|}^{2}}{|OA{|}^{2}+|OB{|}^{2}}$
=$\frac{1}{\frac{1}{|OB{|}^{2}}+\frac{1}{|OA{|}^{2}}}$=$\frac{1}{\frac{1+co{s}^{2}θ+1+si{n}^{2}θ}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
可得|OP|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的運(yùn)用，注意運(yùn)用極坐標(biāo)方程，考查三角形的面積公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．