Question

10．在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=2，AB=4，AB∥CD，∠BCD=90°，M為棱PA的中點．
（I）證明：平面BDM⊥平面PAD；
（Ⅱ）在棱PC上是否存在一點N，使得直線BN與平面BDM所成角為30°？若存在，求出CN長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中點E，連結DE，推導出DE⊥AB，AD⊥BD，PD⊥BD，從而BD⊥平面PAD，由此能證明平面BDM⊥平面PAD．
（Ⅱ）以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出CN長．

解答 證明：（Ⅰ）取AB中點E，連結DE，
∵在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=2，AB=4，AB∥CD，∠BCD=90°，M為棱PA的中點，
∴DE⊥AB，∴AD=BD，∴AD⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PD⊥BD，
又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD，
∵BD?平面BDM，∴平面BDM⊥平面PAD．
解：（Ⅱ）以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，
A（2$\sqrt{2}$，0，0），P（0，0，2），M（$\sqrt{2}，0，1$），D（0，0，0），B（0，2$\sqrt{2}$，0），
C（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{PC}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，-2），
設棱PC上存在一點N（a，b，c），使得直線BN與平面BDM所成角為30°，
$\overrightarrow{PN}$=$λ\overrightarrow{PC}$，0≤λ≤1，則（a，b，c-2）=（-$\sqrt{2}λ，\sqrt{2}λ，-2λ$），解得N（-$\sqrt{2}λ$，$\sqrt{2}λ$，2-2λ），
$\overrightarrow{DB}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{DN}$=（-$\sqrt{2}λ$，$\sqrt{2}λ$，2-2λ），
設平面BDM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DN}=-\sqrt{2}λx+\sqrt{2}λy+（2-2λ）z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
∵直線BN與平面BDM所成角為30°，
∴sin30°=$\frac{|\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BN}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}•\sqrt{2{λ}^{2}+（\sqrt{2}λ-2\sqrt{2}）^{2}+（2-2λ）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
由0≤λ≤1，解得$λ=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$，
∴|$\overrightarrow{CN}$|=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（-\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{6}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．