Question

20．如圖，四棱錐S-ABCD底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2，點E是SD的中點，F(xiàn)是BC線段上的點，O是AC與BD的交點．
（Ⅰ）求證：OE∥平面SBC；
（Ⅱ）若直線SF與平面ABCD所成角的正弦值為$\frac{2}{3}$，求二面角C-OE-F的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明OE∥平面SBC；
（Ⅱ）建立坐標(biāo)系求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可．

解答 證明：（Ⅰ）∵E是SD的中點，O是BD的中點，
∴OE是△SDB的中位線，
則OE∥BS，
∵OE?平面SBC，BS?平面SBC；
∴OE∥平面SBC；
（Ⅱ）建立以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DS分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則若直線SF與平面ABCD所成角的正弦值為$\frac{2}{3}$，
則sin∠SFD=$\frac{SD}{SF}$=$\frac{2}{SF}=\frac{2}{3}$，則SF=3，
∵SD=DC=2，∴SC=2$\sqrt{2}$，則CF=$\sqrt{S{F}^{2}-S{C}^{2}}=\sqrt{9-8}$=1，
即F是BC的中點，
則O（1，1，0），E（0，0，1），C（0，2，0），F(xiàn)（1，2，0），
則$\overrightarrow{OE}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{OC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{OF}$=（0，1，0），
設(shè)平面COE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{OE}$=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{OC}$=0，
得$\left\{\begin{array}{l}{-x-y+z=0}\\{-x+y=0}\end{array}\right.$，令x=1，則y=1，z=2，
則$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
設(shè)平面OEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{OE}$=-x-y+z=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{OF}$=y=0，
令x=1，則y=0，z=1，
即$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1+2}{\sqrt{2}•\sqrt{1+1+4}}=\frac{3}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=60°，
即二面角C-OE-F的大小為60°．

點評 本小題主要考查線面平行的判斷和二面角的求解，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．