Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是單位向量，若$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=0，且|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$，則|$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow$|的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{3}{5}$，5]
• B． [$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$]
• C． [$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{5}$]
• D． [$\sqrt{2}$，$\frac{3\sqrt{5}}{5}$]

Answer 1

分析 向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是單位向量，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=0，取$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1）．設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y）=$\overrightarrow{OP}$，根據(jù)|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$，可得$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，設(shè)A（1，0），B（0，2）．則|AB|=$\sqrt{5}$，可得點(diǎn)P在線段AB上．可得y=2-2x（0≤x≤1）．代入|$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow$|=$\sqrt{5{x}^{2}-2x+2}$=$\sqrt{5（x-\frac{1}{5}）^{2}+\frac{9}{5}}$=f（x），利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是單位向量，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=0，
取$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1）．
設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y）=$\overrightarrow{OP}$，
∵|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
設(shè)A（1，0），B（0，2）．
則|AB|=$\sqrt{5}$，
因此點(diǎn)P在線段AB上．
∴$\frac{x}{1}+\frac{y}{2}$=1，
可得y=2-2x（0≤x≤1）．
則|$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow$|=$\sqrt{（x+1）^{2}+（y-1）^{2}}$=$\sqrt{（x+1）^{2}+（1-2x）^{2}}$=$\sqrt{5{x}^{2}-2x+2}$=$\sqrt{5（x-\frac{1}{5}）^{2}+\frac{9}{5}}$=f（x），
$f（\frac{1}{5}）$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$為最小值，
由f（0）=$\sqrt{2}$，f（1）=$\sqrt{5}$，可得最大值為$\sqrt{5}$．
∴f（x）∈$[\frac{3\sqrt{5}}{5}，\sqrt{5}]$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性、直線方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．