Question

12．已知x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，函數(shù)y=tan²x-tan（π-x）+1的值域是[$\frac{3}{4}$，4+$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 利用換元法，結(jié)合正切函數(shù)和一元二次函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．

解答 解：y=tan²x-tan（π-x）+1=tan²x+tanx+1=（tanx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
設(shè)t=tanx，
∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，
∴tan（-$\frac{π}{4}$）≤tanx≤tan$\frac{π}{3}$，
即-1≤tanx≤$\sqrt{3}$，
即-1≤t≤$\sqrt{3}$，
則函數(shù)等價為y=（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，對稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，
∵-1≤t≤$\sqrt{3}$，
∴當t=-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取得最小值$\frac{3}{4}$，
當t=$\sqrt{3}$時，函數(shù)取得最大值4+$\sqrt{3}$，
故函數(shù)的值域為[$\frac{3}{4}$，4+$\sqrt{3}$]，
故答案為：[$\frac{3}{4}$，4+$\sqrt{3}$]

點評 本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用換元法，結(jié)合正切函數(shù)和一元二次函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．