Question

1．已知圓C：（x-3）²+（y-2）²=2，直線l：（m+1）x+（m-1）y-4m=0．
（1）證明：直線l與圓C相交；
（2）若直線l與圓C相交于M、N，求MN的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）直線l：（m+1）x+（m-1）y-4m=0可化為m（x+y-4）+（x-y）=0，解方程組，可得直線l恒過定點，即可證明直線l與圓C相交；
（2）直線l被圓C截得的弦長的最長時，直線過圓心；直線l被圓C截得的弦長的最小時，弦心距最大，CA的斜率為0，l∥y，可得直線l被圓C截得的弦長的最小值．

解答 （1）證明：直線l：（m+1）x+（m-1）y-4m=0可化為m（x+y-4）+（x-y）=0
令$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得x=y=2，∴直線l恒過定點A（2，2）
∵（2-3）²+（2-2）²=1＜2
∴A在圓內(nèi)，∴不論m為何值時，直線l和圓C恒有兩個交點；
（2）解：直線l被圓C截得的弦長的最長時，直線過圓心，最大值為2$\sqrt{2}$
直線l被圓C截得的弦長的最小時，弦心距最大，此時CA⊥l
∵圓C：（x-3）²+（y-2）²=2，圓心C（3，2），半徑為$\sqrt{2}$
∴CA的斜率為0，
∴l(xiāng)∥y，
∴直線l被圓C截得的弦長的最小值為2$\sqrt{2-1}$=2．

點評 本題考查直線恒過定點，考查弦長的計算，解題的關(guān)鍵是掌握圓的特殊性，屬于中檔題．