Question

已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，求證：

1

xy

≥8．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：證明題

分析：先把要證的式子等價(jià)轉(zhuǎn)化為xy≤

1

8

，再由條件x+2y=1利用基本不等式證明

解答： 證明：由于x＞0，y＞0，則

1

xy

≥8?xy≤

1

8

，下面證明xy≤

1

8

：
由基本不等式知1=x+2y≥2

x•2y

=2

2xy

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)上述等號(hào)成立，又x+2y=1，
∴x=

1

2

、y=

1

4

時(shí)上述等號(hào)成立
∴2

2xy

≤1成立
兩邊平方得，8xy≤1，
∴xy≤

1

8

，命題得證．

點(diǎn)評(píng)：利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，把要證的命題轉(zhuǎn)化成證明較簡單的問題．其次，利用基本不等式解題時(shí)，不要忘了驗(yàn)證“=”成立的條件．