Question

11．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），其右頂點為 A（2，0），上、下頂點分別為 B₁，B₂．直線 A B₂的斜率為$\frac{1}{2}$，過橢圓的右焦點F的直線交橢圓于 M，N兩點（ M，N均在y軸右側(cè)）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)四邊形 M N B₁ B₂面積為S，求S的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因為a=2，$\frac{a}=\frac{1}{2}$，所以b=1，可求得橢圓方程
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），直線MN方程為x=my+$\sqrt{3}$，將直線x=my+$\sqrt{3}$代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$得（m²+4）y²+2$\sqrt{3}$my-1=0，求得面積，利用均值不等式求得取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）因為a=2，$\frac{a}=\frac{1}{2}$，所以b=1，
所以橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），直線MN方程為x=my+$\sqrt{3}$，將直線x=my+$\sqrt{3}$代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$得（m²+4）y²+2$\sqrt{3}$my-1=0，
則y₁+y₂=$\frac{-2\sqrt{3}m}{{m}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-1}{{m}^{2}+4}$，|y₁-y₂|=$\frac{4\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+4}$∵x₁＞0，x₂＞0，∴$0≤|m|≤\sqrt{3}$；
面積S=${S}_{△{B}_{2}OM}+{S}_{△{B}_{1}ON}+{S}_{△OMN}$=$\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{\sqrt{3}}{2}|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{1}{2}m（{y}_{1}+{y}_{2}）+\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{4\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+4}$
=$\frac{1}{2}m×\frac{-2\sqrt{3}m}{{m}^{2}+4}+\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{4\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+4}$=$\sqrt{3}+\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{{m}^{2}+1}-{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$
=$\frac{2\sqrt{3}（\sqrt{{m}^{2}+1}+2）}{{m}^{2}+4}$；
令t=$\sqrt{{m}^{2}+1}，1≤t≤2$，則$S=\frac{2\sqrt{3}（t+2）}{{t}^{2}+3}$=$\frac{2\sqrt{3}（t+2）}{（t+2）^{2}-4（t+2）+7}$=$\frac{2\sqrt{3}}{（t+2）+\frac{7}{t+2}-4}∈（\frac{8\sqrt{3}}{7}，\frac{3\sqrt{3}}{2}]$，
即S$∈（\frac{8\sqrt{3}}{7}，\frac{3\sqrt{3}}{2}]$．
所以四邊形MNB1B2面積S的取值范圍為S$∈（\frac{8\sqrt{3}}{7}，\frac{3\sqrt{3}}{2}]$．

點評 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題，屬中檔題目，在高考中常有涉及．