Question

4．點(diǎn)F是拋物線T：x²=2py（y＞0）的焦點(diǎn)，F(xiàn)₁是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，若線段FF₁的中點(diǎn)P恰為拋物線T與雙曲線C的漸近線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，則雙曲線C的離心率e=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 雙曲線C的漸近線方程為y=$\frac{a}$x，代入x²=2py，可得P（$\frac{2bp}{a}$，$\frac{2^{2}p}{{a}^{2}}$），利用P是線段FF₁的中點(diǎn)，可得P（$\frac{c}{2}$，$\frac{p}{4}$），由此即可求出雙曲線C的離心率．

解答 解：雙曲線C的漸近線方程為y=$\frac{a}$x，代入x²=2py，可得P（$\frac{2bp}{a}$，$\frac{2^{2}p}{{a}^{2}}$），
∵F（0，$\frac{p}{2}$），F(xiàn)₁（c，0）
∴線段FF₁的中點(diǎn)P（$\frac{c}{2}$，$\frac{p}{4}$），
∴$\frac{2bp}{a}$=$\frac{c}{2}$，$\frac{2^{2}p}{{a}^{2}}$=$\frac{p}{4}$，
∴a²=8b²，
∴c²=9b²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線C的離心率，考查拋物線、雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定P的坐標(biāo)是關(guān)鍵．