Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是{x|x＞0}，對于定義域內(nèi)的任意x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當(dāng)x＞1時f（x）＞0，f（2）=1，
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）求不等式f（2x-1）＜2的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先任取兩個變量，界定大小，再作差變形看符號．
（2）先令x₁=x₂=2，求得f（4）=2，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)于不等式組，解得即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
證明：設(shè)x₂＞x₁＞0，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•

x2

x1

）-f（x₁）
=f（x₁）+f（

x2

x1

）-f（x₁）=f（

x2

x1

）．
∵x₂＞x₁＞0，
∴

x2

x1

＞1．
∴f（

x2

x1

）＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0．
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）令x₁=x₂=2，
∴f（4）=f（2）+f（2）=1+1=2，
∵f（2x-1）＜2，
∴f（2x-1）＜f（4），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
∴

2x-1＞0 2x-1＜4

，
解得

1

2

＜x＜

5

2

，
故原不等式的解集為（

1

2

，

5

2

）

點(diǎn)評：本題主要考查單調(diào)性和奇偶性的判斷與證明．以及抽象函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意公式f（xy）=f（x）+f（y）（x，y＞0），f（2）=1的靈活運(yùn)用．