Question

18．若正數(shù)x，y滿足x²+4y²+x+2y=1，則xy的最大值為$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由題意和基本不等式可得1=x²+（2y）²+x+2y≥2•x•2y+2$\sqrt{x•2y}$，解關(guān)于$\sqrt{x•2y}$的一元二次不等式可得．

解答 解：∵正數(shù)x，y滿足x²+4y²+x+2y=1，
∴1=x²+4y²+x+2y=x²+（2y）²+x+2y≥2•x•2y+2$\sqrt{x•2y}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時取等號．
變形可得2（$\sqrt{x•2y}$）²+2$\sqrt{x•2y}$-1≤0，
解得$\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$≤$\sqrt{x•2y}$≤$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
結(jié)合$\sqrt{x•2y}$＞0可得0＜$\sqrt{x•2y}$≤$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
平方可得2xy≤（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）²=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，
∴xy≤$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$，即xy的最大值為$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$，
故答案為：$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$

點評 本題考查基本不等式求最值，涉及一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題．