Question

8．在矩形ABCD中，已知AB=1，AD=$\sqrt{3}$，若將△ABD沿BD所在直線翻折，使得二面角A-BD-C的大小為60°，則AD與平面BCD所成角的正弦值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO、CO，則∠AOC=60°，且AO=OC=AC=1，過(guò)A作AE⊥平面BCD，交OC=E，連結(jié)DE，則E為CO中點(diǎn)，∠ADE是AD與平面BCD所成角，由此能求出AD與平面BCD所成角的正弦值．

解答 解：∵在矩形ABCD中，AB=1，AD=$\sqrt{3}$，
∴BD=AO=2，
∵將△ABD沿BD所在直線翻折，使得二面角A-BD-C的大小為60°，
∴取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO、CO，則∠AOC=60°，且AO=OC=AC=1，
過(guò)A作AE⊥平面BCD，交OC=E，連結(jié)DE，則E為CO中點(diǎn)，
∴∠ADE是AD與平面BCD所成角，
∵AD=$\sqrt{3}$，AE=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin∠ADE=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$．
∴AD與平面BCD所成角的正弦值為$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．