Question

2．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足2S_n=2ⁿ⁺¹+λ（λ∈R）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{（2n+1）{{log}_4}（{a_n}{a_{n+1}}）}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、裂項(xiàng)求和方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）依題意，當(dāng)n=1時(shí)，2S₁=2a₁=4+λ，
故當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^{n-1}}$；
因?yàn)閿?shù)列{a_n}為等比數(shù)列，故a₁=1，故$\frac{4+λ}{2}=1$，解得λ=-2，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}={2^{n-1}}（{n∈{N^*}}）$．
（Ⅱ）依題意，${log_4}（{{a_n}a_{n+1}^{\;}}）={log_4}（{{2^{n-1}}•{2^n}}）=\frac{1}{2}（{2n-1}）$，
故${b_n}=\frac{1}{{（{2n+1}）{{log}_4}（{{a_n}a_{n+1}^{\;}}）}}=\frac{2}{{（{2n+1}）（{2n-1}）}}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，
故數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和${T_n}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．