Question

19．已知函數(shù)f（x）是周期為2的偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x²，函數(shù)g（x）=kx（k＞0），若不等式f（x）≤g（x）的解集是[0，a]∪[b，c]∪[d，+∞）（d＞c＞b＞a＞0），則正數(shù)k的取值范圍是[$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性先求出函數(shù)在一個周期內(nèi)的[-1，1]的解析式，作出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)不等式的解集關(guān)系，確定直線斜率k的范圍即可得到結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
當(dāng)x∈[-1，0]時，-x∈[0，1]，
∴f（x）=x²，x∈[-1，1]，
∵定義在R上的函數(shù)f（x）的周期是2，
作出函數(shù)f（x）的圖象，
∵不等式f（x）≤g（x）的解集是
[0，a]∪[b，c]∪[d，+∞）（d＞c＞b＞a＞0），
∴函數(shù)直線y=kx在[0，1]，[1，3]內(nèi)相交，
且在當(dāng)x≥5時，不等式無解，
當(dāng)直線經(jīng)過點A（3，1）時，y=$\frac{1}{3}$x，
此時不等式的解集不滿足，
當(dāng)直線經(jīng)過點B（5，1）時，y=$\frac{1}{5}$x，此時不等式的解集滿足條件，
則若不等式f（x）≤g（x）的解集是[0，a]∪[b，c]∪[d，+∞）（d＞c＞b＞a＞0），
則k滿足$\frac{1}{5}$≤k＜$\frac{1}{3}$，
即正數(shù)k的取值范圍是[$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$）．
故答案為：$[{\frac{1}{5}，\frac{1}{3}}）$

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件求出函數(shù)在一個周期的解析式，利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合不等式的解集關(guān)系，確定斜率k的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．