Question

10．已知雙曲線和離心率為sin$\frac{π}{4}$的橢圓有相同的焦點F₁，F(xiàn)₂，P是兩曲線的一個公共點，若cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$，則雙曲線的離心率等于（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$

Answer 1

分析 利用橢圓、雙曲線的定義，求出|PF₁|，|PF₂|，結合cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$，利用余弦定理，建立方程，即可求出雙曲線的離心率e．

解答 解：設橢圓的長半軸長為a₁，雙曲線的實半軸長為a₂，焦距為2c，
|PF₁|=m，|PF₂|=n，且不妨設m＞n，由m+n=2a₁，m-n=2a₂得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
又$cos∠{F_1}P{F_2}=\frac{1}{2}$，
∴由余弦定理可知：4c²=m²+n²-mn，
∴4c²═a₁²+3a₂²，
∴$\frac{a_1^2}{c^2}+\frac{3a_2^2}{c^2}=4$，
設雙曲線的離心率為e，
則$\frac{1}{{{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}}+\frac{3}{e^2}=4$，解得e=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
故答案選：C．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的定義與性質及余弦定理的綜合應用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．