Question

14．已知圓O：x²+y²=2，圓M：（x-a）²+（y-a+4）²=1．若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A、B，使得四邊形PAOB為正方形，則實數(shù)a的取值范圍為[$2-\frac{\sqrt{2}}{2}，2+\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，利用兩點間的距離關系求出OP的距離，再由題意得到關于a的不等式求得答案．

解答 解：如圖，圓O的半徑為$\sqrt{2}$，圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得四邊形PAOB為正方形，
則∠APO=45°，在Rt△PAO中，PO=2，
又圓M的半徑等于1，圓心坐標M（a，a-4），
∴|PO|_min=|MO|-1，|PO|_max=|MO|+1，
∵|MO|=$\sqrt{{a}^{2}+（a-4）^{2}}$，
∴由$\sqrt{{a}^{2}+（a-4）^{2}}$-1≤2≤$\sqrt{{a}^{2}+（a-4）^{2}}$+1，
解得：2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：[$2-\frac{\sqrt{2}}{2}，2+\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，利用數(shù)形結合將條件進行等價轉化是解決本題的關鍵，是中檔題．