Question

18．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1，a_n+1=S_n+2，n∈N
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前2015項(xiàng)的和S₂₀₁₅，并求出它的個(gè)位數(shù)字．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=S_n+2，得a_n=S_n-1+2，n≥2，從而得到數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，能求出數(shù)列{a_n}的前2015項(xiàng)的和S₂₀₁₅，并能求出它的個(gè)位數(shù)字．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1=S_n+2，n∈N，
∴a_n=S_n-1+2，n≥2，
兩式相減，得a_n+1-a_n=a_n，∴a_n+1=2a_n，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$．
（2）∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的前2015項(xiàng)的和：
S₂₀₁₅=$\frac{1-{2}^{2015}}{1-2}$=2²⁰¹⁵-1．
先找規(guī)律，觀察2¹，2²，2³，…，2¹⁰ 分別個(gè)位數(shù)為2，4，8，6，2，4，8，6，2，4，
∴2⁴ⁿ⁺¹，2⁴ⁿ⁺²，2⁴ⁿ⁺³，2⁴ⁿ⁺⁴個(gè)位數(shù)為2，4，8，6，（n=0，1，2..）
∴2015=503×4+1，∴2²⁰¹⁵尾數(shù)為2，
∴S₂₀₁₅=2²⁰¹⁵-1的個(gè)位數(shù)是1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前2015項(xiàng)的和及其個(gè)位數(shù)字的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．