Question

9．已知正數(shù)x，y滿足x+4y=4，則$\frac{x+28y+4}{xy}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{85}{2}$
• B． 24
• C． 20
• D． 18

Answer 1

分析 根據(jù)已知可將$\frac{x+28y+4}{xy}$，化為$\frac{\frac{{x}^{2}}{2}+2xy+8xy+32{y}^{2}}{xy}$，利用基本不等式可得$\frac{{x}^{2}}{2}+32{y}^{2}$≥2$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{2}×32{y}^{2}}$=8xy，從而原式：$\frac{x+28y+4}{xy}$≥$\frac{8xy+2xy+8xy}{xy}$=18．

解答 解：∵x+4y=4，可得：$\frac{x+4y}{4}$=1，
∴$\frac{x+28y+4}{xy}$=$\frac{x+28y+x+4y}{xy}$=$\frac{2x+32y}{xy}$=$\frac{（2x+32y）\frac{x+4y}{4}}{xy}$
=$\frac{\frac{{x}^{2}}{2}+2xy+8xy+32{y}^{2}}{xy}$，
∵$\frac{{x}^{2}}{2}+32{y}^{2}$≥2$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{2}×32{y}^{2}}$=8xy，
∴$\frac{x+28y+4}{xy}$≥$\frac{8xy+2xy+8xy}{xy}$=18．
故選：D．

點評 本題主要考查了基本不等式的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題．