Question

14．在直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)P（1，-2）的直線l的傾斜角為45°．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2cosθ，直線l和曲線C的交點(diǎn)為點(diǎn)A、B．
（I）求直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）求出直線的普通方程，令x=t，從而求出直線的參數(shù)方程；
（2）求出曲線C的普通方程，聯(lián)立方程組，求出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出|PA|•|PB|的值即可．

解答 解：（1）在直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)P（1，-2）的直線l的傾斜角為45°．
∴k_l=1，直線方程是：y+2=x-1，y=x-3，
令x=t，則y=t-3，
∴直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=t-3}\end{array}\right.$；
（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2cosθ，
即為ρ²sin²θ=2ρcosθ，
化為普通方程為：y²=2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\sqrt{7}}\\{y=1+\sqrt{7}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4-\sqrt{7}}\\{y=1-\sqrt{7}}\end{array}\right.$，
∴|PA|•|PB|=$\sqrt{{（-3-\sqrt{7}）}^{2}{+（-3-\sqrt{7}）}^{2}}$•$\sqrt{{（-3+\sqrt{7}）}^{2}{+（-3+\sqrt{7}）}^{2}}$=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、曲線的交點(diǎn)，屬于中檔題．