Question

1．如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的菱形，且∠ABC=120°，PC⊥平面ABCD，PC=a，E為PA的中點(diǎn)．
（1）求證：平面EBD⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-BE-D的大�。�

Answer 1

分析 （1）以C為原點(diǎn)，CA所在直線為y軸，CP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．求出向量$\overrightarrow{QE}$的坐標(biāo)，易得$\overrightarrow{CP}$=2$\overrightarrow{QE}$，即PC∥QE，結(jié)合已知中PC⊥平面ABCD，由線面垂直的第二判定定理可得QP⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面EBD⊥平面ABCD；
（2）分別求出平面ABE與平面BDE的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角A-BE-D的平面角的余弦值．

解答 解：（1）由PC⊥平面ABCD，所以以C為原點(diǎn)，CA所在直線為y軸，CP所在直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
∵ABCD的底面是邊長為a的菱形，∠ABC=120°，
PC=a，E是PA的中點(diǎn)．
∴$C\;（0，\;0，\;0），\;\;A\;（0，\sqrt{3}a，\;0）$，$B\;（-\frac{1}{2}a，\frac{\sqrt{3}}{2}a，\;0），\;\;D\;（\frac{1}{2}a，\frac{\sqrt{3}}{2}a，\;0）$，P（0，0，a），
∵E是PA的中點(diǎn)，∴$E\;（0，\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}a，\;\frac{1}{2}a）$．
設(shè)AC和BD交于點(diǎn)Q，則Q（0，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$a，0），
∴$\overrightarrow{QE}$=（0，0，$\frac{1}{2}$a，），$\overrightarrow{CP}$=2$\overrightarrow{QE}$，PC⊥平面ABCD，
∴QP⊥平面ABCD，平面EBD⊥平面ABCD；（4分）
（2）設(shè)平面ABE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），可得$\overrightarrow{m}$=（-$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），
又AC⊥BC，得AC⊥面BDE，又$\overrightarrow{CA}$=（0，$\sqrt{3}$a，0），
∴取平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{7}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)二面角的平面角及求示，平面與平面垂直的判定，其中建立空間坐標(biāo)系，求出相應(yīng)直線的方向向量及平面的法向量，將空間直線與平面的平行或垂直及夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．