Question

18．已知坐標(biāo)平面上三點(diǎn)A（0，3），B（-$\sqrt{3}$，0），C（$\sqrt{3}$，0），P是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，且PA=PB+PC，則P點(diǎn)的軌跡方程為x²+（y-1）²=4（y≤0）．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，可得△ABC為正三角形，以C為頂點(diǎn)作正三角形PCD，利用三角形的邊角之間的關(guān)系可得點(diǎn)P在△ABC的外接圓上．求出△ABC的外接圓的方程，結(jié)合已知PA＞PB，PA＞PC，求得P點(diǎn)軌跡．

解答 解：如圖，由三點(diǎn)A（0，3），B（-$\sqrt{3}$，0），C（$\sqrt{3}$，0），
可得△ABC為正三角形，
以C為頂點(diǎn)作正三角形PCD，
由于△ABC也是正三角形，可證得△ACP≌△BCD，
∴BD=AP，又∵BD=PB+PC=PB+PD，
∴B、P、D三點(diǎn)共線．
∵∠CBP=∠PAC，
∴點(diǎn)P在△ABC的外接圓上．
又PA＞PB，PA＞PC，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為：x²+（y-1）²=4（y≤0）．
故答案為：x²+（y-1）²=4（y≤0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，考查了學(xué)生靈活處理問題和解決問題的能力，訓(xùn)練了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，難度較大．